Question

2．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，$\sqrt{3}$cosA），若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1-cos（A+B），則C等于（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合輔助角公式化積，可得$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．進(jìn)一步求得C得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，$\sqrt{3}$cosA），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB=\sqrt{3}sin（A+B）$，
又$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1-cos（A+B），∴$\sqrt{3}sin（A+B）=1-cos（A+B）$，
得$\sqrt{3}sinC-cosC=1$，即2$sin（C-\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∵$-\frac{π}{6}＜C-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，∴$C-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，則C=$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是中檔題．