Question

4．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，$AB=2\sqrt{2}，CD=\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點．
（1）求證：AC⊥EF；
（2）求二面角F-OE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以O為原點，建立空間坐標系，求出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{EF}$的坐標，通過計算$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=0$得出AC⊥EF；
（2）求出平面OEF的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞|為所求二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴OA=OB，OC=OD．
∵AC⊥BD，AB=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=2，OC=OD=1．
以O為原點，以OB，OC，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，
則A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）．
∵E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點，
∴E（1，-1，0），F(xiàn)（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{AC}$=（0，3，0），$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=0，
∴AC⊥EF．
（2）$\overrightarrow{OE}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{OF}$=（0，-1，1），
設平面OEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{OE}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{OF}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∵OP⊥平面OAE，
∴$\overrightarrow{OP}$=（0，0，2）為平面OAE的一個法向量．
∵cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角F-OE-A的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了空間向量的應用與空間角的計算，屬于中檔題．