Question

（2013•資陽(yáng)二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=t（t≠1），2a_n+1+3S_n=3n+4（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）當(dāng)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)b_n=λa_n-λ-n²，若在數(shù)列{b_n}中，有b₁＞b₂，b₃＞b₄，…，b_2n-1＞b_2n，…成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），兩式作差得an+1=-

1

2

an+

3

2

，可變形為an+1-1=-

1

2

(an-1)（n≥2），要使{a_n-1}是等比數(shù)列，只需

a2-1

a1-1

=-

1

2

，由此可求得t值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_n，表示出b_n，由題意得b_2n-1＞b_2n，分離出參數(shù)λ，轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值即可解決，由單調(diào)性可求得最值；

解答：解：（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），
兩式相減得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，
∴an+1=-

1

2

an+

3

2

，
則an+1-1=-

1

2

(an-1)（n≥2），
由a₁=t，又2a₂+3S₁=7，則a2=-

3

2

t+

7

2

，
又∵數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，
∴只需要

a2-1

a1-1

=

- 3 2 t+ 7 2 -1

t-1

=-

1

2

，∴t=2．
此時(shí)，數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an-1=(a1-1)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-1，
∴an=(-

1

2

)n-1+1，bn=λ[(-

1

2

)n-1+1]-λ-n²=λ(-

1

2

)n-1-n2，
由題意得b_2n-1＞b_2n，則有λ(-

1

2

)2n-2-(2n-1)2＞λ(-

1

2

)2n-1-(2n)2，即λ(-

1

2

)2n-2[1-(-

1

2

)]＞(2n-1)2-(2n)2，
∴λ＞-

(4n-1)•4n

6

，
而-

(4n-1)•4n

6

對(duì)于n∈N^*時(shí)單調(diào)遞減，則-

(4n-1)•4n

6

的最大值為-

(4-1)×4

6

=-2，
故λ＞-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式、等比關(guān)系的確定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解等比數(shù)列的定義．