Question

【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線(xiàn)C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；

③曲線(xiàn)C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

A. ①B. ②C. ①②D. ①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線(xiàn)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱(chēng)性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.

由得,,,

所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.

由得,,解得,所以曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò). 結(jié)論②正確.

如圖所示,易知,

四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說(shuō)法③錯(cuò)誤.

故選C.