Question

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若

AQ

=

3

4

AS

，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，可得S0⊥底面ABCD，結(jié)合SO?平面SOB，利用面面垂直判定定理，得平面SOB⊥底面ABCD；
（II）以0為原點(diǎn)，分別以垂直AB、BC的直線為x軸和y軸，0S所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)．算出A、B、C、S、P各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而由

AQ

=

3

4

AS

得到Q的坐標(biāo)，可得

PQ

、

PB

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法，建立方程組解出

n

=（1，3，5）是平面PQB的一個(gè)法向量，結(jié)合

SO

=（0，0，-3）是平面ABCD的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

n

，

SO

＞=

n • SO

|n| • |SO|

=-

35

7

，即可得到平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

解答：解：（Ⅰ）∵0是頂點(diǎn)S在底面上ABCD的射影，
∴S0⊥底面ABCD，
又∵SO?平面SOB，
∴平面SOB⊥底面ABCD…（3分）
（Ⅱ）如圖，以0為原點(diǎn)，以垂直AB的直線為x軸，垂直BC的直線為y軸，
0S所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz．
由正方形ABCD邊長為4，且0到AB、AD的距離分別為2、1，
得A（2，-1，0），B（2，3，0），C（-2，3，0），
S（0，0，3），P（-1，

3

2

，

3

2

）
∴

AQ

=

3

4

AS

，可得Q（

1

2

，-

1

4

，

9

4

），

PQ

=（

3

2

，-

7

4

，

3

4

），

PB

=（3，

3

2

，-

3

2

）
∵

SO

=（0，0，-3）是平面ABCD的一個(gè)法向量，
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PQB的一個(gè)法向量，
由

n • PB =2x+y-z=0 n • PQ =6x-7y+3z

，取x=1得y=3，z=5
∴

n

=（1，3，5），
可得cos＜

n

，

SO

＞=

n • SO

|n| • |SO|

=-

35

7

 
因此，平面PBQ與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值的大小為

35

7

 …（8分）

點(diǎn)評：本題在四棱錐中求證面面垂直，并求平面與平面所成的二面角的大�。�著重考查了四棱錐的性質(zhì)、面面垂直判定定理和利用空間向量研究面面所成角等方法等知識，屬于中檔題．