Question

已知函數(shù)f（x）=|4^x+k2^x+1|．
（Ⅰ）當(dāng)k=-4時，求函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上的值域；
（Ⅱ）設(shè)（4^x+2^x+1）g（x）=f（x），若存在x₁，x₂，x₃∈R，使得以g（x₁），g（x₂），g（x₃）為三邊長的三角形不存在，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）k=-4時，f（x）=|4^x-4•2^x+1|，設(shè)2^x=t，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=|t²-4t+1|=|（t-2）²-3|，由此能求出函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上的值域．
（Ⅱ）由題意知2g（x）_min≤g（x）_max，令p=2x+

1

2x

≥2，則g（x）=|1+

k-1

p+1

|，由此進行分類討論，能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）k=-4時，f（x）=|4^x-4•2^x+1|，
設(shè)2^x=t，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，
則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=|t²-4t+1|=|（t-2）²-3|，
∵1≤t≤4，∴0≤f≤（t）≤3．
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上的值域為[0，3]．
（Ⅱ）由題意知2g（x）_min≤g（x）_max，
∵g（x）=

|4x+k•2x+1|

4x+2X+1

=|

4x+k•2x+1

4x+2x+1

|
=|1+

(k-1)•2x

4x+2x+1

|=|1+

k-1

2x+ 1 2x +1

|，
令p=2x+

1

2x

≥2，則g（x）=|1+

k-1

p+1

|，
①k＞1時，g（x）∈（1，

k+2

3

），∴2＜

k+2

3

，即k＞4；
②k=1時，g（x）=1，不滿足條件；
③-2＜k＜1時，g（x）∈[

k+2

3

，1)，∴2•

k+2

3

＜1，即k＜-

1

2

；
④-5≤k≤-2時，g（x）∈[0，1），滿足條件；
⑤k＜-5時，g（x）∈[0，-

k+2

3

]，滿足條件．
綜上所述，k＞4或k＜-

1

2

．
∴實數(shù)k的取值范圍是{k|k＞4或k＜-

1

2

}．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意換元法和分類討論思想的合理運用．