Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓C :經(jīng)過點(diǎn)離心率為。

（Ⅰ） 求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求O到直線l的距離的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為。

【解析】

試題分析：（1）由已知， 所以.

又點(diǎn)在橢圓C上，可以得 

所以橢圓方程為                         （4分）

（2）當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)方程為

則由消去y，得

設(shè)點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為

則    （7分）

P 在橢圓上，可得，化簡得

需滿足

又點(diǎn)O到直線l的距離為d=

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號成立。

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，由對稱性知，點(diǎn)P一定在x軸上，

從而P（-2，0）（2，0），直線l為x=1或x=-1，所以點(diǎn)O

到直線l的距離為1.

所以點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為。                 （12分）

（直接寫出P為短軸端點(diǎn)，并求出距離,但未證明的給4分）

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的定義及幾何性質(zhì)。（2）作為研究點(diǎn)到直線的距離最值問題，利用了函數(shù)思想。