Question

8．關(guān)于x的不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-x-2＞0}\\{2{x^2}+（2k+5）x+5k＜0}\end{array}}\right.$的解集為A，若集合A中有且僅有一個整數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 求出第一個不等式的解，討論k的范圍得出第二個不等式的解，根據(jù)集合A中只含有一個整數(shù)得出第二個不等式解的端點的范圍，從而得出k的范圍．

解答 解：解不等式x²-x-2＞0得x＜-1或x＞2．
解方程2x²+（2k+5）x+5k=0得x₁=-$\frac{5}{2}$，x₂=-k．
（1）若-k$＜-\frac{5}{2}$即k$＞\frac{5}{2}$時，不等式2x²+（2k+5）x+5k＜0的解為-k＜x＜-$\frac{5}{2}$，
此時不等式組的解集為A=（-k，-$\frac{5}{2}$），
∵集合A中有且僅有一個整數(shù)，∴-4≤-k＜-3，解得3＜k≤4．
（2）若-k＞-$\frac{5}{2}$即k＜$\frac{5}{2}$時，不等式2x²+（2k+5）x+5k＜0的解為-$\frac{5}{2}$＜x＜-k，
此時不等式組的解集為A=（-$\frac{5}{2}$，-k）或A=（-$\frac{5}{2}$，-1）或A=（-$\frac{5}{2}$，-1）∪（2，-k），
∵集合A中有且僅有一個整數(shù)，∴-2＜-k≤3，解得-3≤k＜2．
綜上，k的取值范圍是（3，4]∪[-3，2）．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法，分類討論思想，借助數(shù)軸可方便得出區(qū)間端點的范圍，屬于中檔題．