Question

2．在四棱錐S一ABCD中，底面ABCD為正方形，S在底面的射影為底面中心O，且SA=SB=SC=SD=AB=2，以O(shè)為坐際原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）求證：SC⊥BD；
（2）求SA與平面SBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得SO⊥BD，從而BD⊥平面SAC，由此能證明SC⊥BD．
（2）求出$\overrightarrow{SA}$和平面SBC的法向量，利用向量法能求出SA與平面SBC所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵底面ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵S在底面的射影為底面中心O，
∴SO⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD，
∴SO⊥BD，
又AC∩BD=O，∴BD⊥平面SAC，
又SC?平面SAC，∴SC⊥BD．
（2）解：∵在四棱錐S一ABCD中，底面ABCD為正方形，
S在底面的射影為底面中心O，且SA=SB=SC=SD=AB=2，
以O(shè)為坐際原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∴S（0，0，$\sqrt{2}$），A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），
$\overrightarrow{SA}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{SC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=x+y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=-x+y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
設(shè)SA與平面SBC所成角為θ，
則sinθ=|$\frac{\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SA}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{4}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴SA與平面SBC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．