Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間A；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個極值點，求導得到f′（）=0得，求a；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間A，比較f′（x）=0的兩根的大小，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．
解答：解：（Ⅰ）
因為是函數(shù)f（x）的一個極值點，所以，得a²-a-2=0．
因為a＞0，所以a=2．
（Ⅱ）因為f（x）的定義域是，
．
（1）當時，列表
f（x）在，是增函數(shù)；
f（x）在是減函數(shù)．
（2）當時，34．gif，f（x）在是增函數(shù)．
（3）當時，列表
f（x）在，（0，+∞）是增函數(shù)；
f（x）在是減函數(shù)．
（Ⅲ）當時，，
由（Ⅱ）可知f（x）在上是增函數(shù)．
當時，也有f（x）在上是增函數(shù)，
所以對于對于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值為f（1）=ln（a+1）+1-a，
要使不等式f（x）≤m在上恒成立，
須ln（a+1）+1-a≤m，
記g（a）=ln（a+1）+1-a，因為，
所以g（a）在[1，2]上遞減，g（a）的最大值為g（1）=ln2，所以m≥ln2．
故m的取值范圍為[ln2，+∞）．
點評：考查x=x是極值點是f′（x）=0的充分非必要條件，考查應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題，有關(guān)恒成立的問題一般采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬難題．