Question

已知函數(shù)f（x）=cos（ω•x-θ）（其中ω＞0，θ∈[0，π]）是奇函數(shù)，又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間（0，）內(nèi)函數(shù)f（x）沒有零點．
（1）求θ和ω的值；
（2）函數(shù)f（x）圖象是中心對稱圖形，請寫出所有對稱中心的坐標(biāo)；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函數(shù)，
∴cosθ=0，又θ∈[0，π]），則θ=…2．
奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間（0，）內(nèi)函數(shù)f（x）沒有零點，
則=，T=，
∴ω==6…6
（2）函數(shù)f（x）=cos（6x-），由f（x）=0得6x-=kπ-…7
∴x=（k∈Z）．函數(shù)f（x）圖象的對稱中心是（，0），其中k∈Z…9
（3）f（x）=cos（6x-）=sin6x，
∴由2kπ-≤6x≤2kπ+得：-≤x≤+（k∈Z）…11
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-，+]（k∈Z）…12
分析：（1）由f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函數(shù)，可得f（0）=cosθ=0，又θ∈[0，π]，可求得θ，由=，T==可求得ω；
（2）由（1）可得，f（x）=cos（6x-），由f（x）=0即可求得其對稱中心；
（3）f（x）=cos（6x-）=sin6x，由2kπ-≤6x≤2kπ+可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
點評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，θ和ω的值的確定是關(guān)鍵，也是難點所在，考查綜合分析與轉(zhuǎn)化運用的能力，屬于中檔題．