Question

設(shè)復(fù)數(shù)z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i為虛數(shù)單位），若對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，|z|≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用復(fù)數(shù)莫得公式求模，然后利用三角函數(shù)進(jìn)行化簡，由|z|≤2得到不等式，然后根據(jù)a的符號(hào)把該不等式分類轉(zhuǎn)化為不含三角函數(shù)的不等式，求解后對(duì)a取并集即可得到答案．
解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以
=
=
=（tanα=2）．
因?yàn)閨z|≤2，
所以．
若a=0，此式顯然成立，
若a＞0，由，
得，解得．
若a＜0，由，
得，解得．
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，滿足|z|≤2的實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．