已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且
tanA-tanB
tanA+tanB
=
b+c
c
．
（1）求角A；
（2）若
BA
•
AC
=6，求a的最小值．
分析：（1）把等號左邊的切換成正余弦，把等號右邊利用正弦定理把便當(dāng)問題轉(zhuǎn)化成角的正弦，進(jìn)而化簡整理求得2cosAsinB=-sinB進(jìn)而求得cosA的值，則A可得．
（2）利用平面向量的數(shù)量積的運算，求得bc的值，進(jìn)而利用余弦定理建立等式，利用基本不等式求得a的最小值．
解答：解：（1）∵
tanA-tanB
tanA+tanB
=
b+c
c

∴
sinAcosB-sinBcosA
sinAcosB+sinBcosA
=
sinB+sinC
sinC

∴
sinAcosB-sinBcosA
sin(A+B)
=
sinB+sinC
sinC

∵sin（A+B）=sinC＞0
∴sinAcosB-sinBcosA=sinB+sin（A+B）
∴2cosAsinB=-sinB
∵sinB＞0∴cosA=-
1
2
∵A∈（0，π）∴A=
2π
3

（2）
∵BA
•
AC
=6
∴bc•cos60°=6
∴bc=12
∵a2=b2+c2-2bccosA
∴a2=b2+c2+bc≥3bc=36
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2
3
時，amin=6．
點評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，基本不等式的求最值，以及平面向量的數(shù)量積．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC為鈍角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正確的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足b+c=
3
a，設(shè)
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，試求角B的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）證明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）證明：不論x取何值總有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，證明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a，b，c且角A，B、C成等差數(shù)列，△ABC的面積S=
b2-(a-c)2k
，則實數(shù)k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）當(dāng)sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值時，求角B的大小和△ABC的面積．

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