Question

設函數(shù)f（x）=

ex，x≤0 lnx，x＞0

，若對任意給定的a∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足 f（f（x））=ma+2m²a²，則正實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對應的關系時，即只有當f（x）＞1時，才會存在一一對應．然后利用一元二次不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)f（x）的函數(shù)，我們易得出其值域為：R，
又∵f（x）=e^x，（x≤0）時，值域為（0，1]；
f（x）=lnx，（x＞0）時，其值域為R，
∴可以看出f（x）的值域為（0，1]上有兩個解，
要想f（f（x））=ma+2m²a²，在a∈[1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （因為ma+2m²a²＞0），
所以：f（x）＞e，即lnx＞e，
解得：x＞e^e，
當 x＞e^e時，x與f（f（x））存在一一對應的關系，
∴ma+2m²a²＞1，a∈[1，+∞），且m＞0，
把m當作主變量，
則不等式等價為2m²a²+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等價為2ma-1＞0，
即m＞

1

2a

，
∵a≥1，
∴

1

2a

≤

1

2

，
則m＞

1

2

，
故正實數(shù)m的取值范圍是（

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查了分段函數(shù)的應用，綜合性較強，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵，難度較大．