Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+

n

x

+1，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=3x-4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=af（x）-

x

2

在（0，1）上有極值點(diǎn)x₀，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件可得f（1）=-1，且f′（1）=3，列出m，n的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件知g′（x）=0在（0，1）上有解，令h（x）=2ax+4a-x²，即有h（x）=0在（0，1）有解，運(yùn)用分離參數(shù)得到2a=

x2

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-4，由2＜t=x+2＜3，求出右邊的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=mlnx+

n

x

+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

m

x

-

n

x2

，
由于曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=3x-4，
則f（1）=-1，且f′（1）=3即有n+1=-1，且m-n=3，
解得m=1，n=-2．
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=lnx-

2

x

+1；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=af（x）-

x

2

=alnx-

2a

x

+a-

x

2

，
導(dǎo)數(shù)g′（x）=

a

x

+

2a

x2

-

1

2

=

2ax+4a-x2

2x2

，
由于g（x）在（0，1）上有極值點(diǎn)x₀，則g′（x）=0在（0，1）上有解，
令h（x）=2ax+4a-x²，即有h（x）=0在（0，1）有解，
即2a=

x2

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-4，由于2＜t=x+2＜3，（t+

4

t

-4）′=1-

4

t2

＞0，則（2，3）為增區(qū)間，
則t+

4

t

-4∈（0，

1

3

）．即有0＜2a＜

1

3

，則有0＜a＜

1

6

．
故a的取值范圍是（0，

1

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求極值，考查極值點(diǎn)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．