Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（4+x）=f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，那么f（0）＜0是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點(diǎn)的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】分析：由f（x+4）=f（x）得出函數(shù)的周期是4，然后利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，判斷f（0）＜0與函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點(diǎn)之間的推出關(guān)系，最后根據(jù)充要條件的定義得出答案．
解答：解：因?yàn)閒（x+4）=f（x），所以函數(shù)f（x）的周期是4．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減．

若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點(diǎn)，則f（0）＜0，f（2）＞0，如圖．


反之，若f（0）＜0，f（2）＜0，如圖，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上沒有零點(diǎn)，

故f（0）＜0是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點(diǎn)的必要不充分條件．

故選C．
點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，周期性和單調(diào)性之間的關(guān)系．正確理解函數(shù)的這幾個性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．