Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明：函數(shù)有兩個零點；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，證明（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求得函數(shù)的最小值，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用零點的存在定理，即可求解；

（Ⅲ）求得，得到，把欲證轉(zhuǎn)化為證，進而得到，設(shè)，等價于，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．

（Ⅰ）的定義域為，

由，可得，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以.取，

記，所以在上單調(diào)遞減. .所以當(dāng)，

，所以函數(shù)在上存在一個零點.當(dāng)時，，，所以函數(shù)在上存在一個零點.所以，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.

（Ⅲ）依題意得，，則，

因為有兩個極值點，所以，

欲證等價于證，即，所以，

因為，所以原不等式等價于①，

由可得，則②，

由①②可知，原不等式等價于，即，

設(shè)，則上式等價于時，，

令，則，

因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，即，

所以原不等式成立，即.