Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐C₁-CDB₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)AC=3，BC=4，AB=5得到AC⊥BC；再結(jié)合其為直棱柱得到AC⊥CC₁，即可證明AC⊥平面BCC₁B₁，進(jìn)而得到AC⊥BC₁；
（2）先設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE；跟怒邊長(zhǎng)相等得到E為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，E為中點(diǎn)；再結(jié)合點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)可得DE∥AC₁，進(jìn)而得到AC₁∥平面CDB₁；
（3）直接根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三棱錐D-C₁CB₁的體積再代入體積計(jì)算公式即可．
解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC．
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，又BC∩CC₁=C．
∴AC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AC⊥BC₁…（5分）
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，
因?yàn)椋籅C=AA₁=4，
所以BCC₁B₁為正方形，
故E是C₁B的中點(diǎn)，
∵D是AB的中點(diǎn)，E是C₁B的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．．     …（10分）
（3）因?yàn)锳C⊥平面BCC₁B₁，，D為中點(diǎn)
所以D到平面BCC₁B₁的距離等于AC，
∵
=
=AC
=×（×4×4）××3
=4．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)立體幾何知識(shí)的綜合考查．一般在求三棱錐的體積直接不好找時(shí)，常用等體積轉(zhuǎn)化求解．（轉(zhuǎn)化為高好找的三棱錐）