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如圖，對每個正整數n，An(xn，yn)是拋物線x2＝4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn(sn，tn)．

(Ⅰ)試證：xnsn＝－4(n+≥1)；

(Ⅱ)取xn＝2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|＋|FC2|＋…＋|FCn|＝2n－2－n+1＋1．

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)對任意固定的，因為焦點，所以可設直線的方程為，將它與拋物線方程聯立，

　　得，由一元二次方程根與系數的關系得．

　　(Ⅱ)對任意固定的，利用導數知識易得拋物線在處的切線的斜率，故在處的切線方程為，①

　　類似地，可求得在處的切線方程為，②

　　由②減去①得，

　　從而，，，③

　　將③代入①并注意到得交點的坐標為．

　　由兩點間距離公式，得

　　＝．從而．

　　現在，利用上述已證結論并由等比數列求和公式得，

　　…

　　…

　�。�．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn）．
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1．

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科目：高中數學 來源：重慶市高考真題 題型：證明題

如圖，對每個正整數n，An(xn，yn)是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn），
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1（n≥1）。

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科目：高中數學 來源： 題型：

(22)如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FA.交拋物線于另一點Bn（sn，tn）.

（Ⅰ）試證：xnsn=－4（n≥1）；

（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點.試證：

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1（n≥1）.

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年江蘇省南通市啟東中學高三（上）12月階段考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn）．
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1．

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科目：高中數學 來源：2006年重慶市高考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，對每個正整數n，An（xn，yn）是拋物線x2=4y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn（sn，tn）．
（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點．試證：|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1．

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