已知函數(shù)f(x)=
bx+c
ax2+1
(a，c∈R，a＞0，b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f（x）有最大值
1
2
，且f(1)＞
2
5
，試求函數(shù)f（x）的解析式．
由f（x）為奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0，即
bx+c
ax2+1
+
-bx+c
ax2+1
=0，
∴c=0．
 又a＞0，b是自然數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，
 當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，
故f（x）的最大值
1
2
必在x＞0時取得；
當(dāng)x＞0時，f（x）=
bx
ax2+1
=
b
ax+
1
x
≤
b
2
a
，
當(dāng)且僅當(dāng)ax=
1
x
，即x=
1
a
時取得
b
2
a
=
1
2
，即a=b2，
又f（1）＞
2
5
，
∴
b
b2+1
＞
2
5
，
∴2b2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
∴
1
2
＜b＜2 又a＞0，b是自然數(shù)可得a=b=1，
∴f（x）=
x
x2+1
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
b-2x2x+1
為定義在區(qū)間[-2a，3a-1]上的奇函數(shù)，則a+b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域為［1，3］.

（1）求實數(shù)b、c的值；

（2）判斷F(x)=lgf(x)在x∈［-1，1］上的單調(diào)性，并給出證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)若t∈R，求證  lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西白鷺洲中學(xué)高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)若t∈R，求證：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域為［1,3］.

(1)求實數(shù)b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)在［-1,1］上的單調(diào)性；

(3)若t∈R,求證：lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.

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