Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+acosx+

5

8

a-

3

2

，a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）如果對于區(qū)間[0，

π

2

]上的任意一個x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結合函數(shù)解析式的結構特征對函數(shù)進行配方可得f(x)=-(cosx-

1

2

)2+

3

8

，進而得到函數(shù)的最大值．
（2）根據(jù)函數(shù)解析式的特征對函數(shù)進行配方可得f(x)=-(cosx-

1

2

a)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，結合函數(shù)的定義域進行換元可得二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，進而解決恒成立問題．

解答：解：（1）由題意可得：f(x)=sin2x+cosx-

7

8

=-cos2x+cosx+

1

8

=-(cosx-

1

2

)2+

3

8

．
所以當cosx=

1

2

時，函數(shù)f（x）的最大值是

3

8

．
（2）f(x)=-(cosx-

1

2

a)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

．
當0≤x≤

π

2

時，0≤cosx≤1，令t=cosx，則0≤t≤1．
y=-(t-

1

2

a)2+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，0≤t≤1．
當0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時，則當t=

a

2

，即cosx=

a

2

時，
f(x)max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

≤1，
解得-4≤a≤

3

2

，
則0≤a≤

3

2

；  
當

a

2

＜0，即a＜0時，則當t=0即cosx=0時，
f(x)max=

5

8

a-

1

2

≤1，
解得a≤

12

5

，
則a＜0．
當

a

2

＞1，即a＞2時，則當t=1即cosx=1時，
f(x)max=a+

5

8

a-

3

2

≤1，
解得a≤

20

13

，無解．
綜上可知，a的取值范圍(-∞，

3

2

]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關系可以確定函數(shù)的最值．