Question

已知函數(shù) 

（1）求函數(shù)f(x)的極值；

（2）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）求證.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在處取得極大值f（1）=1 ，無極小值。

（2）

（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)的思想，通過導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調性，進而得到極值。

（2）要證明不等式恒成立，移項，右邊為零，將左邊重新構造新的函數(shù)，證明函數(shù)的最小值大于零即可。

（3）在第二問的基礎上，放縮法得到求和的不等式關系。

解：（1）因為， x >0，則，…………1分

當時，；當時，.

所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，

所以函數(shù)在處取得極大值f（1）=1 ，無極小值。…………3分

（2）不等式即為 記

所以…………7分

令，則，      ，    

在上單調遞增，   ，從而，

故在上也單調遞增，   所以，所以 . ……9分

（3）由（2）知：恒成立，即， 

令，則

所以 ,  ，  ，…   …  

，                                 …………12分

疊加得：

 .

則，所以 …………14分

考點：本題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

點評：解決該試題的關鍵是對于導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的熟練的運用，并能結合單調性求解函數(shù)的 極值和最值問題。難點是對于遞進關系的試題，證明不等式，往往要用到上一問的結論。