Question

可以證明，對(duì)任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a₁，a₂，a₃每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}每項(xiàng)均非零，且對(duì)任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）取n=1，有a₁²=a₁³，又a₁≠0，所以a₁=1．
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，于是a₂（a₂-2）（a₂+1）=0，又a₂≠0，所以a₂=-1或2．
取n=3，有（1+a₂+a₃）²=1+a₂³+a₃³，
當(dāng)a₂=-1時(shí)，a₃²=a₃³，又a₃≠0，所以a₃=1．
當(dāng)a₂=2時(shí)，（1+2+a₃）²=1+2³+a₃³，整理得a₃（a₃-3）（a₃+2）=0，所以a₃=3或-2．
綜上，說有滿足條件的數(shù)列為1，-1，1，或1，2，3，或1，2，-2．
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替換n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，兩式相減，
有a_n+1³-（S_n-a_n+1）²-S_n²=（2S_n-a_n+1）a_n+1，因a_n+1≠0，所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N⁺
（3）存在，1，-1，1，2，3，…，2008，2009，2010，…是一個(gè)滿足條件的無窮數(shù)列．
分析：（1）取n=1，求出首項(xiàng)a₁的值，取n=2，求出a₂的值，取n=3，可求出a₃的值，從而求出所求；
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替換n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，兩式相減，可證得結(jié)論；
（3）滿足（2）中條件的數(shù)列遞推式為a_n+1=a_n+1或-a_n．所以符合a₂₀₁₁=2009的數(shù)列的前2011項(xiàng)為1，2，…，k-1，k-k，k，k-1，…，2009，之后的項(xiàng)只需滿足遞推式即可．但要注意不能出現(xiàn)值為0的項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)列的求和，同時(shí)考查了推理能力，屬于中檔題．