可以證明,對(duì)任意的n∈N*,有(1+2+…+n)2=13+23+…+n3成立.下面嘗試推廣該命題:
(1)設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1,a2,a3每項(xiàng)均非零,且對(duì)任意的n∈{1,2,3}有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3成立,求所有滿足條件的數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零,且對(duì)任意的n∈N*有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3成立,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.求證:an+12-an+1=2Sn,n∈N*;
(3)是否存在滿足(2)中條件的無窮數(shù)列{an},使得a2011=2009?若存在,寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列(不需要證明它滿足條件); 若不存在,說明理由.
解:(1)取n=1,有a12=a13,又a1≠0,所以a1=1.
取n=2,有(1+a2)2=1+a23,于是a2(a2-2)(a2+1)=0,又a2≠0,所以a2=-1或2.
取n=3,有(1+a2+a3)2=1+a23+a33,
當(dāng)a2=-1時(shí),a32=a33,又a3≠0,所以a3=1.
當(dāng)a2=2時(shí),(1+2+a3)2=1+23+a33,整理得a3(a3-3)(a3+2)=0,所以a3=3或-2.
綜上,說有滿足條件的數(shù)列為1,-1,1,或1,2,3,或1,2,-2.
(2)由已知,Sn2=a13+a23+…+an3,用n+1替換n,得到(Sn-an+1)2=a13+…+an+13,兩式相減,
有an+13-(Sn-an+1)2-Sn2=(2Sn-an+1)an+1,因an+1≠0,所以an+12-an+1=2Sn,n∈N+
(3)存在,1,-1,1,2,3,…,2008,2009,2010,…是一個(gè)滿足條件的無窮數(shù)列.
分析:(1)取n=1,求出首項(xiàng)a1的值,取n=2,求出a2的值,取n=3,可求出a3的值,從而求出所求;
(2)由已知,Sn2=a13+a23+…+an3,用n+1替換n,得到(Sn-an+1)2=a13+…+an+13,兩式相減,可證得結(jié)論;
(3)滿足(2)中條件的數(shù)列遞推式為an+1=an+1或-an.所以符合a2011=2009的數(shù)列的前2011項(xiàng)為1,2,…,k-1,k-k,k,k-1,…,2009,之后的項(xiàng)只需滿足遞推式即可.但要注意不能出現(xiàn)值為0的項(xiàng).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)列的求和,同時(shí)考查了推理能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2011-2012學(xué)年江蘇省泰州市姜堰市蔣垛中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版)
題型:解答題
可以證明,對(duì)任意的n∈N*,有(1+2+…+n)2=13+23+…+n3成立.下面嘗試推廣該命題:
(1)設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1,a2,a3每項(xiàng)均非零,且對(duì)任意的n∈{1,2,3}有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3成立,求所有滿足條件的數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零,且對(duì)任意的n∈N*有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3成立,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.求證:an+12-an+1=2Sn,n∈N*;
(3)是否存在滿足(2)中條件的無窮數(shù)列{an},使得a2012=-2011?若存在,寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列(不需要證明它滿足條件); 若不存在,說明理由.
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