Question

已知函數(shù)f（x）=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)．
（1）設(shè)x∈[0，

π

2

]，且f（x）=

3

+1，求x的值；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，AB=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用單項式乘多項式法則計算，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的值，即可求出x的值；
（2）利用三角形的面積公式及余弦定理列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出a+b的值．

解答：解：（1）f（x）=2

3

cos²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）-sinx=2cos（x+

π

6

）+

3

，
由2cos（x+

π

6

）+

3

=

3

+1，得cos(x+

π

6

)=

1

2

，
于是x+

π

6

=2kπ±

π

3

（k∈Z），
∵x∈[0，

π

2

]，∴x=

π

6

；
（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=

π

6

，
∵△ABC的面積為

3

2

，∴

3

2

=

1

2

absin

π

6

，即ab=2

3

，①
在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a、b，
由余弦定理得1=a²+b²-2abcos

π

6

=a²+b²-6，
∴a²+b²=7，②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2

，
則a+b=2+

3

．

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．