Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，任給x₁，x₂∈D，且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的嚴格凸函數(shù)．現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)y=log₂x與函數(shù)y=-x²在區(qū)間（0，+∞）上均為嚴格凸函數(shù)；
②函數(shù)y=2^x與y=tanx在（-1，1）均不為嚴格凸函數(shù)；
③一定存在實數(shù)k，使得函數(shù)y=x+

k

x

在區(qū)間（-∞，0）上為嚴格凸函數(shù)．
其中正確的命題個數(shù)為（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：利用嚴格凸函數(shù)定義，結(jié)合函數(shù)的圖象可得①、②都是正確的；取k=1，證明函數(shù)y=x+

k

x

在區(qū)間（-∞，0）上為嚴格凸函數(shù)

解答： 解：利用嚴格凸函數(shù)定義，可得①、②都是正確的；
取k=1，則任給x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁≠x₂，f（

x1+x2

2

）=

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

(x1+ 1 x1 )+(x2+ 1 x2 )

2

=

x1+x2

2

+

x1+x2

2x1x2

，
因為（x₁+x₂）²＞4x₁x₂，且x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以

2

x1+x2

＞

x1+x2

2x1x2

，即f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，
所以③是正確的，故正確命題個數(shù)為3．
故選：D．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．