Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，上下頂點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)BF交橢圓于C點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若P點(diǎn)是橢圓上弧AC上動(dòng)點(diǎn)，四邊形APCB面積的最小值為，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)F（c，0），B（0，-b），C（x，y）
由=3，得：（c，b）=3（x-c，y）
解得：C（c，）代入橢圓方程得：+=1，
∴e==，a²=2c²，b=c；
（2）由（1）橢圓方程可寫(xiě)為+=1，點(diǎn)C（b，），
直線(xiàn)AC：x+2y-2b=0，，AC=b，
設(shè)點(diǎn)P（x，y）：x²+2y²=2b²，點(diǎn)P到直線(xiàn)AC距離為d=，
（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，
∴d_max=b，
∴由S_max==，b²=1，橢圓方程為：x²+2y²=2
注：本題也可以求出平行于直線(xiàn)AC的切線(xiàn)：，得到點(diǎn)到直線(xiàn)AC的最大距離解題．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)F（c，0），B（0，-b），C（x，y）由=3，可求得C（c，）代入橢圓方程得：+=1，從而可求得橢圓的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P到直線(xiàn)AC距離為d=，可求得（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，從而可得d_max=b，由S_max==，可求得b²=1，從而可求得橢圓方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，求得（x+2y）²≤6b²，是關(guān)鍵也是難點(diǎn)，考查綜合分析與轉(zhuǎn)化應(yīng)用的能力，屬于難題．