Question

14．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-2ax．若函數(shù)f（x）在R內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則a的取值范圍是a＜$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 作出y=e^x與直線y=2ax的函數(shù)圖象，令兩圖象在[0，+∞）上無(wú)交點(diǎn)得出a的范圍．

解答 解：∵f（x）無(wú)零點(diǎn)，且f（x）是偶函數(shù)，
∴y=e^x與直線y=2ax在[0，+∞）上無(wú)交點(diǎn)，
作出y=e^x與直線y=2ax的函數(shù)圖象，如圖所示：

設(shè)直線y=2ax與y=e^x相切，切點(diǎn)為（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{2am=n}\\{{e}^{m}=n}\\{{e}^{m}=2a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=e}\\{a=\frac{e}{2}}\end{array}\right.$，
∴a＜$\frac{e}{2}$．
故答案為：$a＜\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．