Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a₂=b，前n項(xiàng)的和S_n滿足等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0（n≥1），其中a，b，r均為非零整數(shù)．
（1）求{a_n}為常數(shù)列的充要條件；
（2）求{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）若{a_n}為常數(shù)列，則S_n=na₁=na，結(jié)合等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可得：r=1，a=b，反之當(dāng)r=1，a=b時(shí)，可得{a_n}為常數(shù)列，進(jìn)而得到{a_n}為常數(shù)列的充要條件；
（2）若{a_n}為公比為1的等比的數(shù)列，則{a_n}為常數(shù)列，由（1）得r=1，a=b，若{a_n}為公比不為1的等比的數(shù)列，可得

b

a

=r，反之當(dāng)

b

a

=r時(shí)，可得{a_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而得到{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

解答： 解：（1）若{a_n}為常數(shù)列，則S_n=na₁=na，
則等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可化為：a（1-r）=0，
∵a，b，r均為非零整數(shù)．
故r=1，a=b，
若r=1，則S_n+2-2S_n+1+S_n=0，
即a_n+2-a_n+1=0，（n≥1），
若a=b，則a_n=a恒成立，故{a_n}為常數(shù)列，
綜上所述，{a_n}為常數(shù)列的充要條件為：a=b，且r=1；
（2）若{a_n}為公比為1的等比的數(shù)列，則{a_n}為常數(shù)列，由（1）得r=1，a=b，
若{a_n}為公比不為1的等比的數(shù)列，
則等式S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可化為：

an+2

an+1

=r，（n≥1），
當(dāng)

b

a

=r時(shí)，{a_n}為公比為r等比數(shù)列，
即{a_n}為等比數(shù)列時(shí)，

b

a

=r，
若

b

a

=r時(shí)，由S_n+2-（1+r）S_n+1+rS_n=0可得：

an+2

an+1

=r，（n≥1），
此時(shí)

an+1

an

=r恒成立，故{a_n}為等比數(shù)列．
綜上所述，{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為

b

a

=r．

點(diǎn)評(píng)：本題以充要條件為載體考查了等比數(shù)列的定義，判斷方法，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．