(08年山東卷理)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).
(Ⅰ)當n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當x≥2時,有f(x)≤x-1.
【解析】(Ⅰ)解:由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>1},
當n=2時,
所以
(1)當a>0時,由f(x)=0得
>1,<1,
此時 .
當x∈(1,x1)時, f(x)單調(diào)遞減;
當x∈(x1+∞)時, f(x)單調(diào)遞增.
(2)當a≤0時,恒成立,所以f(x)無極值.
綜上所述,n=2時,
當a>0時,f(x)在處取得極小值,極小值為
當a≤0時,f(x)無極值.
(Ⅱ)證法一:因為a=1,所以
當n為偶數(shù)時,
令
則 (x≥2).
所以當x∈[2,+∞]時,g(x)單調(diào)遞增,
又g(2)=0
因此恒成立,
所以f(x)≤x-1成立.
當n為奇數(shù)時,
要證,由于,所以只需證ln(x-1) ≤x-1,
令 h(x)=x-1-ln(x-1),
則 (x≥2),
所以當x∈[2,+∞]時,單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,
所以當x≥2時,恒有h(x) >0,即ln(x-1)<x-1命題成立.
綜上所述,結(jié)論成立.
證法二:當a=1時,
當x≤2時,對任意的正整數(shù)n,恒有,
故只需證明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
則
當x≥2時,≥0,故h(x)在上單調(diào)遞增,
因此當x≥2時,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故當x≥2時,有
即f(x)≤x-1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(7)(08年山東卷理)在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中,有編號為1,2,3,…,18的18名火炬手.若從中任選3人,則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為
(A) (B)
(C) 。―)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(7)(08年山東卷理)在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中,有編號為1,2,3,…,18的18名火炬手.若從中任選3人,則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為
(A) (B)
(C) (D)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(08年山東卷理)右圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計年整2007》中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字,右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字,從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為
(A)304.6 (B)303.6 (C)302.6 (D)301.6
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