設橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點，從每條曲線上至少取兩個點，將其坐標記錄于表中：
 x  3 -2  4  
2
  
3
 y -2
3
  0 -4  
2
2
 -
1
2
（1）求C1、C2的標準方程；
（2）設直線l與橢圓C1交于不同兩點M、N，且
OM
•
ON
=0，請問是否存在這樣的直線l過拋物線C2的焦點F？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（1）設拋物線C2：y2=2px（p≠0），則有
y2
x
=2p(x≠0)，
據(jù)此驗證5個點知只有（3，-2
3
）、（4，-4）在統(tǒng)一拋物線上，易求C2：y2=4x（2分）
設C2：
x2
a2
+
y2
b2
=(a＞b＞0)，把點（-2，0）（
2
，
2
2
）代入得
4
a2
=1
2
a2
+
1
2b2
=1
解得
a2=4
b2=1

∴C2方程為
x2
4
+y2=1（5分）
（2）假設存在這樣的直線l過拋物線焦點F（1，0）
設其方程為x-1=my，設M（x1，y1），N（x2，y2），
由
OM
•
ON
=0．得x1x2+y1y2=0（*）（7分）
由
x-1=my
x2
4
+y2=1
消去x，得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0
∴y1+y2=
-2m
m2+4
，y1y2=
-3
m2+4
①
x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；
=1+m•
-2m
m2+4
+m2•
-3
m2+4
=
4-4m2
m2+4
②（9分）
將①②代入（*）式，得
4-4m2
m2+4
+
-3
m2+4
=0
解得m=±
1
2
（11分），
∴假設成立，即存在直線l過拋物線焦點Fl的方程為：2x±y-2=0（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點都在原點，且兩曲線的焦點均在x軸上，若A（1，2），B（2，0），C(
2
，
2
2
)中有兩點在橢圓C1上，另一點在拋物線C2上．
（Ⅰ）求橢圓C1和拋物線C2的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C1交于M，N兩點，與拋物線C2交于P，Q兩點．問是否存在直線l使得以線段MN為直徑的圓和以線段PQ為直徑的圓都過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓 C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線 C2：x2=4
3
y 的焦點重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，離心率 e=
1
2
，過橢圓右焦點 F2的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 
OM
•
ON
=-2，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•海淀區(qū)二模）設橢圓C1的中心在原點，其右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，過點F與x軸垂直的直線與C1交與A、B兩點，與C2交于C、D兩點，已知
|CD|
|AB|
=
4
3

（1）求橢圓C1的方程
（2）過點F的直線l與C1交與M、N兩點，與C2交與P、Q兩點，若
|PQ|
|MN|
=
5
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•海淀區(qū)二模）設橢圓C1的中心在原點，其右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，過點F與x軸垂直的直線與C1交于A、B兩點，與C2交于C、D兩點，已知
|CD|
|AB|
=
4
3
．
（Ⅰ）過點F且傾斜角為
π
3
的直線與C2：y2=4x交于P、Q兩點，求|PQ|的值；
（Ⅱ）求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德州一模）設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個頂點與拋物線C2：x2=4
2
y的焦點重合，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=
3
3
，過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得
OM
•
ON
=-1，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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