Question

投資公司擬投資開發(fā)某項新產(chǎn)品，市場評估能獲得10～1000萬元的投資收益．現(xiàn)公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于萬元，同時不超過投資收益的20%．
（1）設(shè)獎勵方案的函數(shù)模型為f（x），試用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型f（x）的基本要求；
（2）公司預(yù)設(shè)的一個獎勵方案的函數(shù)模型：f（x）=

x

150

+2試分析這個函數(shù)模型是否符合公司要求；
（3）（理）求證：函數(shù)模型g（x）=

ax-1

-1，a∈[

1

2

，1]符合公司的一個獎勵方案．
（文）假設(shè)下面這個函數(shù)模型是符合公司的一個獎勵方案：g(x)=

ax-1

-1（a＞0），求實數(shù)a滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知獎勵方案描述的是函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而運用數(shù)學語言描述出即可；
（2）對于函數(shù)模型f（x）=

x

150

+2，研究它的單調(diào)性和恒成立問題，即可判斷是否符合（1）中的基本要求；
（3）（理）①②的驗證很顯然，③利用分析法證明；
（文）x∈[10，1000]時，g（x）=

ax-1

-1有意義，可得a≥

1

10

，由g（x）_min=

10a-1

-1≥1成立，可得a≥

1

2

恒成立，設(shè)

ax-1

-1≤

x

5

恒成立，分離參數(shù)可得a≤

x

25

+

2

x

+

2

5

恒成立，根據(jù)y=

x

25

+

2

x

+

2

5

在x∈[10，1000]時，單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：由題意知，公司對獎勵方案的函數(shù)模型f（x）的基本要求是：
當x∈[10，1000]時，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≥1恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立，
（2）解：對于函數(shù)模型f（x）=

x

150

+2，
當x∈[10，1000]時，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f（x）≥1顯然恒成立，
若函數(shù)f（x）=

x

150

+2≤

x

5

在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，
又∵（29x）_min=290，
∴f（x）=

x

150

+2不恒成立，
綜上所述，函數(shù)模型f（x）=

x

150

+2滿足基本要求①②，但是不滿足③，
故函數(shù)模型f（x）=

x

150

+2不符合公司要求；
（3）（理）證明：函數(shù)模型g（x）=

ax-1

-1，a∈[

1

2

，1]，x∈[10，1000]時，滿足增函數(shù)，g（x）_min=1成立；
欲證x∈[10，1000]時，

ax-1

-1≤

x

5

恒成立，
只需證明x∈[10，1000]時，ax-1≤(

x

5

+1)2恒成立，
只需證明x∈[10，1000]時，a≤

x

25

+

2

x

+

2

5

恒成立，
∵y=

x

25

+

2

x

+

2

5

在x∈[10，1000]時，單調(diào)遞增，
∴x=10時，函數(shù)取得最小值1，
∵a∈[

1

2

，1]，
∴x∈[10，1000]時，a≤

x

25

+

2

x

+

2

5

恒成立，
∴：函數(shù)模型g（x）=

ax-1

-1，a∈[

1

2

，1]符合公司的一個獎勵方案．
（文）x∈[10，1000]時，g（x）=

ax-1

-1有意義，∴a≥

1

10

，∴g（x）_min=

10a-1

-1≥1成立，
∴a≥

1

2

恒成立．
設(shè)

ax-1

-1≤

x

5

恒成立，則ax-1≤(

x

5

+1)2恒成立，即a≤

x

25

+

2

x

+

2

5

恒成立，
∵y=

x

25

+

2

x

+

2

5

在x∈[10，1000]時，單調(diào)遞增，
∴x=10時，函數(shù)取得最小值1，
∴a≤1，
∴a∈[

1

2

，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇，其實質(zhì)是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，同時，確定函數(shù)關(guān)系實質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言--數(shù)學化，再用數(shù)學方法定量計算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．