Question

（本題滿分13分）
已知函數(shù)處取得極小值，其圖象過點(diǎn)A（0，1），且在點(diǎn)A處切線的斜率為—1。
（1）求的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)上的值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”。
①證明：當(dāng)不存在“保值區(qū)間”；
②函數(shù)是否存在“保值區(qū)間”？若存在，寫出一個(gè)“保值區(qū)間”（不必證明）；若不存在，說明理由。

Answer 1

 
[0，1]為它的一個(gè)“保值區(qū)間”。

．解：（1）
， ………………2分
由
所以 ………………4分
（2）由（1）得，
①假設(shè)當(dāng)存在“保值區(qū)間”

于是問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根。…………6分
法一：現(xiàn)在考察函數(shù)，


 …………10分
當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

	—	0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，上單調(diào)遞增。

法二：于是問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根。

所以函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)。
即方程有且只有一個(gè)大于1的實(shí)根，與假設(shè)矛盾。
故當(dāng)不存在“保值區(qū)間”。
②存在“保值區(qū)間”，[0，1]為它的一個(gè)“保值區(qū)間”。 ………………13分