Question

11．設(shè){a_n}是等比數(shù)列，公比q＞1，前三項之和為7，前三項之積為8，正項數(shù)列{b_n}前n項之和為T_n，b₁=1，2T_n=b_n（1+b_n）（n∈N^*）．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求{a_nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}是等比數(shù)列，公比q＞1，前三項之和為7，前三項之積為8，可得：$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q$=7，$\frac{{a}_{2}}{q}$×a₂×a₂q=8，q＞1，解得a₂，q．可得a_n．由正項數(shù)列{b_n}前n項之和為T_n，b₁=1，2T_n=b_n（1+b_n）（n∈N^*）．利用當(dāng)n≥2時，2b_n=2（T_n-T_n-1），化為：（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-1）=0，b_n＞0，可得b_n-b_n-1=1，即可得出．
（2）a_nb_n=n•2^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}是等比數(shù)列，公比q＞1，前三項之和為7，前三項之積為8，
∴$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q$=7，$\frac{{a}_{2}}{q}$×a₂×a₂q=8，q＞1，解得a₂=2，q=2．
∴a_n=2ⁿ．
∵正項數(shù)列{b_n}前n項之和為T_n，b₁=1，2T_n=b_n（1+b_n）（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，2b_n=2（T_n-T_n-1）=b_n（1+b_n）-b_n-1（1+b_n-1），
化為：（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-1）=0，b_n＞0，
∴b_n-b_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）=n．
（2）a_nb_n=n•2^n-1，
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．