Question

設(shè)頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線過點P（2，4），過P作拋物線的動弦PA，PB，并設(shè)它們的斜率分別為kPA，kPB．

    （1）求拋物線的方程；

    （2）若kPA+kPB=0，求證直線AB的斜率為定值，并求出其值；

    （3）若kPA·kPB=1，求證直線AB恒過定點，并求出其坐標．

Answer 1

依題意，可設(shè)所求拋物線的方程為y2=2px（p＞0），

因拋物線過點（2，4），故42=4p，p=4，拋物線方程為y2=8x．

    （2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，

同理，．

    ∵kPA+kPB=0，

∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8

∴．

    即直線AB的斜率恒為定值，且值為-1．

    （3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0．

    直線AB的方程為，即(y1+y2)y-y1y2=8x．

    將-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得

    (y1+y2)(y+4)=8(x+6)，該直線恒過定點（-6，-4），命題得證．