Question

10．已知f（x）為[-3，3]上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=e^x+3x．
（1）求-3≤x≤0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于a的不等式f（a²-2）＞f（2a）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可．
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若-3≤x≤0，則0≤-x≤3，
∵當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=e^x+3x．
∴當(dāng)0≤-x≤3時(shí)，f（-x）=e^-x-3x．
∵f（x）為[-3，3]上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=e^-x-3x=f（x），
即f（x）=e^-x-3x．-3≤x≤0，
（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=e^x+3x為增函數(shù)，
∵f（x）為[-3，3]上的偶函數(shù)，
∴不等式f（a²-2）＞f（2a）等價(jià)為不等式f（|a²-2|）＞f（|2a|）．
即$\left\{\begin{array}{l}{|{a}^{2}-2|＞|2a|}\\{{-3≤a}^{2}-2≤3}\\{-3≤2a≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2＞2a或{a}^{2}-2＜-2a}\\{-1≤{a}^{2}≤5}\\{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a-2＞0或{a}^{2}+2a-2＜0}\\{-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}}\\{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1+\sqrt{3}或a＜1-\sqrt{3}或-1-\sqrt{3}＜a＜-1+\sqrt{3}}\\{-\sqrt{5}≤a≤\sqrt{5}}\\{-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$-\frac{3}{2}$≤a＜$\sqrt{3}-1$，
即不等式的解集為[$-\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}-1$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．