若橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸的一個端點與左右焦點、組成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點作直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

 

【答案】

(1) (2)且

【解析】

試題分析：(1)設(shè)橢圓的方程為 

由所以，橢圓的方程為 ……1…5 分

(2)、，

當(dāng)直線的斜率不存在時，的中點為，直線的斜率；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，直線的方程為：，……2

由12聯(lián)立消去并整理得：

設(shè)，則       ……10分

當(dāng)時，的中點為坐標(biāo)原點，直線的斜率；      ……11 分

當(dāng)時，，

且 ……13 分

考點：橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：直線與橢圓相交的問題常聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解，在求解過程中要注意分直線斜率是否存在兩種情況分別討論，再應(yīng)用均值不等式求得斜率最值

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，一個焦點是F（2，0），且兩條準(zhǔn)線間的距離為λ（λ＞4）．
（I）求橢圓的方程；
（II）若存在過點A（1，0）的直線l，使點F關(guān)于直線l的對稱點在橢圓上，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l與x軸正方向、y軸正方向交于A，B兩點，M，N是線段AB的三等分點，橢圓C經(jīng)過M，N兩點．
（1）若直線l的方程為2x+y-6=0，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上，其離心率e∈（0，
12
），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上，且離心率為，一條準(zhǔn)線的方程為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年江蘇省揚州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知直線l與x軸正方向、y軸正方向交于A，B兩點，M，N是線段AB的三等分點，橢圓C經(jīng)過M，N兩點．
（1）若直線l的方程為2x+y-6=0，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上，其離心率e∈（0，），求直線l的斜率k的取值范圍．

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