Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），則函數(shù)y=f（x）在x∈[0，10]內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有（　　）

• A、3個(gè)
• B、4個(gè)
• C、5個(gè)
• D、6個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由定義在R上的奇函數(shù)f（x），得到f（0）=0，再由f（1+x）=f（1-x），得到f（2+x）=-f（x），即有f（2）=0，從而
f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，即有f（4）=0，f（6）=0，f（8）=0，f（10）=0，即可得到答案．

解答： 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
∵f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（-x），
∴f（2+x）=-f（x），即有f（2）=0，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即有f（4）=0，
∴f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，
∴f（6）=0，f（8）=0，f（10）=0，
故函數(shù)y=f（x）在x∈[0，10]內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有6個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性及運(yùn)用，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．