已知0＜x＜
π
2
，用單位圓求證下面的不等式：
（1）sinx＜x＜tanx；
（2）sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
•…•sin
2010
2011
＜
1
2010
．
分析：（1）利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過面積關(guān)系證明sinx＜x＜tanx；
（2）利用（1）的結(jié)論，采用放縮法，求出sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
••sin
2010
2011
＜
1
2
•
2
3
•
3
4
••
2010
2011
=
1
2011
＜
1
2010
推出結(jié)果．
解答：精英家教網(wǎng)證明：（1）如圖，在單位圓中，有sinx=MA，cosx=OM，
tanx=NT，連接AN，則S△OAN＜S扇形OAN＜S△ONT，
設(shè)
AN
的長(zhǎng)為l，則x=
l
r
=l，
∴
1
2
ON•MA＜
1
2
ON•x＜
1
2
ON•NT，即MA＜x＜NT，
又sinx=MA，cosx=OM，tanx=NT，
∴sinx＜x＜tanx；

（2）∵
1
2
，
2
3
，
3
4
，，
2010
2011
均為小于
π
2
的正數(shù)，由（1）中的sinx＜x得，sin
1
2
＜
1
2
，sin
2
3
＜
2
3
，sin
3
4
＜
3
4
，，sin
2010
2011
＜
2010
2011
，
將以上2010道式相乘得sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
••sin
2010
2011
＜
1
2
•
2
3
•
3
4
••
2010
2011
=
1
2011
＜
1
2010
，
即sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
••sin
2010
2011
＜
1
2010
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查單位圓的應(yīng)用，不等式的證明的方法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=2x-x2有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=lnx的定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x-1|，當(dāng)a＜b時(shí)有f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零點(diǎn)，如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間（a，b）等分的次數(shù)至少是10次．
其中正確命題的序號(hào)是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省震川中學(xué)2009－2010學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝．

(1)用定義證明函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；

(2)若x∈[1，2]，求函數(shù)f(x)的值域；

(3)若g(x)＝＋f(x)，且當(dāng)x∈[1，2]時(shí)g(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=2x-x2有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=lnx的定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）必有；
③已知f（x）=|2-x-1|，當(dāng)a＜b時(shí)有f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零點(diǎn)，如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間（a，b）等分的次數(shù)至少是10次．
其中正確命題的序號(hào)是    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=2x-x2有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=lnx的定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）必有；
③已知f（x）=|2-x-1|，當(dāng)a＜b時(shí)有f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零點(diǎn)，如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)（精確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間（a，b）等分的次數(shù)至少是10次．
其中正確命題的序號(hào)是    ．

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