已知函數(shù)f（x）=lnx-（a∈R）
（1）討論f（x）在[1，e]上的單調(diào)性；
（2）若f（x）＜x在[1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）先求導，然后解導數(shù)不等式，利用導數(shù)符號和單調(diào)性的關系進行判斷．
（2）把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值恒成立去解決．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），．
①當a≥-1，因為1≤x≤e，所以x+a≥0，此時f'（x）≥0，所以f（x）在[1，e]上為增函數(shù)．
②當a≤-e時，因為1≤x≤e，所以x+a≥0，此時f'（x）≤0，此時f（x）在[1，e]上為減函數(shù)．
③當-e＜a＜-1時，令f'（x）=0得x=-a．于是當1≤x≤-a時，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)．
當-a≤x≤e時，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在[-a，e]上為增函數(shù)．
綜上可知，當a≥-1時，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)．當a≤-e時，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)．
當-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)，在[-a，e]上為增函數(shù)．
（Ⅱ）由f（x）＜x，得lnx-＜x，因為x≥1，所以a＞xln?x-x2
令g（x）=xln?x-x2，要使a＞xln?x-x2 在[1，+∞）上恒成立，只需a＞gmax?（x）即可．
g'（x）=lnx-2x+1=lnx-（2x-1），分別作出函數(shù)y=lnx和y=2x-1的圖象如圖．由圖象可知當x≥1時，lnx＜2x-1．
此時g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，所以g（x）的最大值為g（1）=-1，所以a＞-1，即a的取值范圍是（-1，+∞）．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案