已知橢圓
x2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞o)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程式．
（Ⅰ）由題意，∵橢圓離心率為
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
∴
c
a
= 
2
2
，
a2
c
=2
∴a=
2
，c=1
∴b2=a2-c2=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）
若直線l的斜率不存在時(shí)，則直線l的方程為x=-1，將x=-1代入橢圓方程可得y=±
2
2

不妨設(shè)M（-1，
2
2
），N（-1，-
2
2
），∴
F2M
+
F2N
= (-2，
2
2
)+(-2，-
2
2
)=(-4，0)
∴|
F2M
+
F2N
|=4，與題設(shè)矛盾，∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=
-4k2
1+2k2
，∴y1+y2=k（x1+x2+2）=
2k
1+2k2

∴
F2M
+
F2N
= (x1+x2-2，y1+y2)
∴|
F2M
+
F2N
|2=( x1+x2-2)2+(y1+y2)2=(
-4k2
1+2k2
-2)2+(
2k
1+2k2
)2=
4(16k4+9k2+1)
4k4+4k2+1

∵|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3

∴
4(16k4+9k2+1)
4k4+4k2+1
=
104
9

∴40k4-23k2-17=0
∴k2=1（負(fù)值舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，其右焦點(diǎn)F是圓（x-1）2+y2=1的圓心．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)所求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交y軸于M（0，m），N（0，n）兩點(diǎn)，當(dāng)|m-n|=2
2
-1
時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左右兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，OH=λOF1，λ∈[
1
3
，
1
2
]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時(shí)，過(guò)F1，F(xiàn)2，P的圓Q的截y軸的線段長(zhǎng)為6，求圓Q的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)橢圓右準(zhǔn)線L上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，試探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2
2
，離心率是
2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使
CA
•
CB
為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，且
AM
=
3
4
AB

（1）計(jì)算橢圓的離心率e
（2）若直線l向右平移一個(gè)單位后得到l′，l′被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為
5
4
，則求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），c=
a2-b2
，圓（x-c）2+y2=c2與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是
 
．

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