Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=4x+a2x+b，
（1）若f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，求f（x）的解析式；
（2）由（1）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=4x+a2x+b，

∵f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，

則有 ，

解得：a=3，b=﹣3．

故得f（x）的解析式為：f（x）=4x+32x﹣3．

（2）解：由（1）可知f（x）=4x+32x﹣3，

設(shè)t=2x，

∵0≤x≤2，

∴1≤t≤4

函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為：y=t2+3t﹣3，（1≤t≤4），

函數(shù)y開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸t=﹣

易知函數(shù)t∈[1，4]上遞增，

故當(dāng)t=1時(shí)，有最小值為1；當(dāng)t=4時(shí)，有最大值為25．

故得當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，25]．

【解析】（1）根據(jù)f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，帶入f（x）=4x+a2x+b，求解a，b即可得f（x）的解析式．（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求解值域．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的才能正確解答此題．