已知函數(shù)f(x)=m•log2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1)、點(diǎn)B(16,3)及點(diǎn)C(Sn,n),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*.
(1)求Sn和an;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,bn=f(an)-1,不等式Tn≤bn的解集,n∈N*.
分析:(1)將A(4,1)、B(16,3)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)中求出m的值,然后將點(diǎn)C(Sn,n)坐標(biāo)代入f(x)中,即可求得Sn的表達(dá)式,然后可以求出an的通項(xiàng)公式;
(2)根據(jù)(1)中求得的an的通項(xiàng)公式寫出bn的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得Tn的表達(dá)式,令Tn≤bn即可求出滿足條件的解集.
解答:解:(1)將A(4,1)、B(16,3)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)得:
,
解得
. (1分)
所以f(x)=log
2x-1.由條件得:n=log
2S
n-1.
得:S
n=2
n+1(n∈N
*),(1分)
當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-1=2
n+1-2
n=2
n,
當(dāng)n=1時(shí),a
n=S
1=4,
所以
an= | 2n當(dāng)n≥2,n∈N時(shí) | 4當(dāng)n=1時(shí) |
| |
.(2分)
(2)當(dāng)n=1時(shí),b
1=T
1=0,不等式成立.(1分)
當(dāng)n≥2時(shí),b
n=f(a
n)-1=n-2,
Tn=0+=.
∵
Tn-bn=-(n-2)==≤0,
解得:2≤n≤3.(3分)
∵n∈N
+,∴n=2或3
所求不等式的解集為{1,2,3 }.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合,考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握,是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.