Question

已知函數f（x）=m•log₂x+t的圖象經過點A（4，1）、點B（16，3）及點C（S_n，n），其中S_n為數列{a_n}的前n項和，n∈N^*．
（1）求S_n和a_n；
（2）設數列{b_n}的前n項和為T_n，b_n=f（a_n）-1，不等式T_n≤b_n的解集，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）將A（4，1）、B（16，3）兩點坐標代入函數f（x）中求出m的值，然后將點C（S_n，n）坐標代入f（x）中，即可求得Sn的表達式，然后可以求出an的通項公式；
（2）根據（1）中求得的an的通項公式寫出bn的通項公式，進而求得Tn的表達式，令T_n≤b_n即可求出滿足條件的解集．

解答：解：（1）將A（4，1）、B（16，3）兩點坐標代入函數f（x）得：

2m+t=1 4m+t=3

，
解得

m=1 t=-1

．        （1分）     
所以f（x）=log₂x-1．由條件得：n=log₂S_n-1．
得：S_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
當n=1時，a_n=S₁=4，
所以 an=

2n當n≥2，n∈N時 4當n=1時

．（2分）
（2）當n=1時，b₁=T₁=0，不等式成立．（1分）
當n≥2時，b_n=f（a_n）-1=n-2，
Tn=0+

(0+n-2)(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

．
∵Tn-bn=

n2-3n+2

2

-(n-2)=

n2-5n+6

2

=

(n-2)(n-3)

2

≤0，
解得：2≤n≤3．（3分）
∵n∈N⁺，∴n=2或3
所求不等式的解集為{1，2，3 }．

點評：本題主要考查了數列與函數、不等式的綜合，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，是高考的熱點問題，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．