Question

已知x，y滿足條件

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

（1）求z=2y-x的最大值．
（2）求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x-y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)BC上一點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，可得答案；
（2）設(shè)P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P兩點(diǎn)距離的平方之值，因此運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并加以觀察，可得當(dāng)P與原點(diǎn)O在AC上的射影Q重合時(shí)，|OP|達(dá)到最小值，由此可得x²+y²的最小值．

解答：解：（1）作出不等式組

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，3），B（7，9），C（3，1），
設(shè)z=F（x，y）=2x-y，將直線l：z=2x-y進(jìn)行平移，
觀察x軸上的截距變化，可得當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)BC上一點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值．
∴z_最大值=F（7，9）=5；
（2）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則|OP|=

x2+y2

，因此x²+y²=|OP|²表示O、P兩點(diǎn)距離的平方之值．
∵當(dāng)P與原點(diǎn)O在AC上的射影Q重合時(shí)，|OP|=

|0+0-4|

2

=2

2

達(dá)到最小值
∴|OP|²的最小值為8，即x²+y²的最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y最大值和x²+y²的最小值，著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)．