Question

9、設a₁，a₂，…，a_2n+1均為整數，性質P為：對a₁，a₂，…，a_2n+1中任意2n個數，存在一種分法可將其分為兩組，每組n個數，使得兩組所有元素的和相等求證：a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等當且僅當a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質P．

Answer 1

分析：先證 a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等時，性質P成立．
再證 當a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質P時，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等，用反證法，假設要證結論的反面成立，
推出與性質P相矛盾的結論，可得假設不成立．

解答：證明：①當a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等時，從中任意2n個數，將其分為兩組，每組n個數，兩組所有元素的和相等，
故性質P成立．
②下面證明：當a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質P時，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等．反證法：
假設a₁，a₂，…，a_2n+1不全部相等，則其中至少有一個整數和其它的整數不同，不妨設此數為a₁，
若a₁在取出的2n個數中，將其分為兩組，每組n個數，則a₁在的那個組所有元素的和與另一個組所有元素的和不相等，
這與性質P 矛盾，故假設不成立，
所以，當a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質P時，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等．
綜上，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等當且僅當a₁，a₂，…，a_2n+1具有性質P．

點評：本題考查充要條件的定義，用反證法證明命題的方法和步驟．