設(shè)fn(x)=
1
2
+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x(n≥2)．
（1）證明：對任意x∈R，當(dāng)|r|≤
1
2
時，rcosx+r2cos2x≥-
3
8
；
（2）證明：當(dāng)|r|≤
1
2
，f2n+1（x）對任意x∈R和自然數(shù)n（n≥2）都有f2n+1（x）＞0．
分析：（1）討論r，在r≠0的情況，利用二次函數(shù)的最值，結(jié)合r的范圍運(yùn)用放縮法證明；
（2）利用放縮法將所求轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用等比數(shù)列求和，再結(jié)合r的范圍放縮證明．
解答：解：（1）1°當(dāng)r=0時，顯然0≥-
3
8

2°當(dāng)r≠0時，設(shè)φ（x）=rcosx+r2cos2x=r2（2cos2x-1）+rcosx
=2r2(cosx+
1
4r
)2-
1
8
-r2≥-
1
8
-r2≥-
1
8
-(
1
2
)2=-
3
8
．（|r|≤
1
2
）

（2）當(dāng)|r|≤
1
2
時，?x∈R，?n∈N*（n≥2），f2n+1=
1
2
+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x++r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x
=
1
2
+φ(x)+r2φ(4x)++r2(n-1)•φ(4n-1x)≥
1
2
-
3
8
(1+r2++r2(n-1))≥
1
2
-
3
8
(1+
1
4
++
1
4n-1
)
=
1
2
-
3
8
•
1-
1
4n
1-
1
4
=
1
2•4n
=
1
22n+1
＞0．
點(diǎn)評：本題是不等式的綜合題，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用放縮法將不等關(guān)系“細(xì)化”，放縮法證明不等式是高考的難點(diǎn)，也是綜合題里的�？键c(diǎn)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）當(dāng)b＞0時，判斷函數(shù)fn（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間(
12
，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=-1，an+1=(1+cos2
nπ
2
)an+sin2
nπ
2
，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4；并證明：a2m+1+2=2（a2m-1+2），m∈N*
（2）設(shè)fn(x)=
1
2
+rcos[(a1+2)x]+r2cos[(a3+2)x]+r3cos[(a5+2)x]+…+rn-1cos[(a2n-3+2)x]（n≥2，n∈N*）
①證明：對任意x∈R，當(dāng)|r|≤
1
2
時，rcos[(a1+2)x]+r2cos[(a3+2)x]≥-
3
8

②證明：當(dāng)|r|≤
1
2
，f2n+1（x）對任意x∈R和自然數(shù)n（n≥2）都有f2n+1（x）＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=
1
2
，且Sn=n2an-n（n-1），（n∈N）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
n+1
n
Sn}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)fn（x）=
Sn
n
xn+1，bn=f′n（a）（a∈R，n∈N），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•南匯區(qū)二模）{an}是等差數(shù)列，設(shè)fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，n是正偶數(shù)，且已知fn（1）=n2，fn（-1）=n
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明
5
4
＜fn(
1
2
)＜3(n≥3)．

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