Question

8．已知二次函數f（x）同時滿足；①f（x+1）-f（x）=2x；②x∈R，恒有f（x）≥x²-x+1成立；③當x≥0時，f（x）≤2^x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），進一步利用條件求的解析式．
（2）分離參數，得到m＜x²-3x+1，根據函數的單調性求出函數最值即可．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）-f（x）=2x
a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x
解得：a=1  b=-1，
∵x∈R，恒有f（x）≥x²-x+1成立，
∴x²-x+c≥x²-x+1，
∴c≥1，
∵當x≥0時，f（x）≤2^x．
∴c≤1，
∴c=1
∴f（x）=x²-x+1；
（2）當x∈[-1，1]時，不等式f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜x²-3x+1，
∵y=x²-3x+1的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
∴y=x²-3x+1在[-1，1]上單調遞減，
∴y_min=1-3+1=-1，
∴m＜-1．

點評 本題考查二次函數的性質的綜合應用，考查函數解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數恒成立條件的靈活運用．