Question

已知橢圓+=1（0＜b＜2）的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B，過F、B、C作圓P．
（I）當(dāng)b=時(shí)，求圓P的方程；
（II）直線AB與圓P能否相切？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出FC、BC的中垂線方程，聯(lián)立兩方程，解得P的坐標(biāo)，根據(jù)b=，確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可得到圓P方程；（Ⅱ）直線AB與圓P不能相切，用反證法，如果直線AB與圓P相切，求得c=0或4，與c∈（0，2）矛盾，故可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（-c，0），（0，b），（2，0），則FC、BC的中垂線分別為，
聯(lián)立兩方程，解得x=，y=，即P（，）
∴b=時(shí)，圓心坐標(biāo)為（，），半徑PC=
∴圓P方程為（x-）²+（y-）²=…（6分）
（Ⅱ）直線AB與圓P不能相切．…（7分）
理由如下：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191447822367077/SYS201310241914478223670019_DA/13.png">，k_PB=
如果直線AB與圓P相切，則…（10分）
解得c=0或4，
又c²=4-b²∈（0，4），∴c∈（0，2），
而0，4∉（0，2），所以直線AB與圓P不能相切．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何綜合題，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圓、橢圓有關(guān)知識(shí)的理解，考查計(jì)算能力，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平面解析幾何相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)．中等題．