Question

已知 f（x）=sin2x-2sin²x，
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[-，]，求f（x）的最大值及取得最大值時對應的x的取值．

Answer 1

解：（1）因為 f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=2sin（2x+）-1，…（4分）
所以，函數(shù)的周期為T==π，即函數(shù)f（x）的最小正周期為 π． …（5分）
令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]． …（7分）
（2）因為-≤x≤，得-≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1． …（8分）
∴-2≤2sin（2x+）-1≤1，…（10分）
所以，函數(shù)f（x）的最大值為1．…（12分）
此時，2x+=，即 x=．…（14分）
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+）-1，由此求得函數(shù)的周期，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范圍，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)-≤x≤，求得2x+ 的范圍，可得sin（2x+）-1的范圍，即為函數(shù)的值域，從而求得函數(shù)的最大值．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復合三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．