Question

如圖直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱長為3，AB⊥BC，且AB=BC=3，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：無論E在何處，總有CB′⊥C′E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B-EB′F的體積取得最大值時，異面直線A′F與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先由線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)證明即可．
（2）利用函數(shù)求最值的方法，求解最值時符合的條件，再求解．

解答：解：（Ⅰ）連接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形，∴B'C⊥BC'
又∵AB⊥BC，BB'⊥AB，∴AB⊥平面BB'C'C
∴B'C⊥AB，BC′∩AB=B
∴B'C⊥平面ABC'，又∵C'E?平面ABC'
∴B'C⊥C'E
（Ⅱ）設(shè)AE=BF=m，∵直三棱柱ABC-A′B′C′，∴BB′為三棱錐B-EB′F的高，底面△BEF為直角三角形，
∴三棱椎B'-EBF的體積為V=

1

2

m(3-m)≤

(m+3-m)2

4

=

9

8

．
當(dāng)m=

3

2

時取等號，故當(dāng)m=

3

2

即點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的中點時，體積最大，
∵此時EF∥AC，∴∠A'FE|為異面直線AC與C′F所成的角；
∵EF=

3 2

2

，AF=A′E=

3 5

2

，A′F=

9

2

，
∴|cos∠A′FE|=

2

2

．

點評：本題考查異面直線所成的角，及線面垂直的判定與性質(zhì)．