Question

8．若（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$），且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角大小為0或π．

Answer 1

分析 由題意可得（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）∥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），由向量共線的知識可得．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$），（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）∥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=λ（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$-4λ$\overrightarrow$，∴（1-λ）$\overrightarrow{a}$=-（3+4λ）$\overrightarrow$，
∵（1-λ）和（3+4λ）不會同時為0，∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為0或π
故答案為：0或π

點評 本題考查數(shù)量積和向量的夾角，涉及向量的平行關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．